儲蓄型商品或保單的報酬率？什麼又是年化報酬率(Annualized Return)？有何關聯

→儲蓄型商品或保單的報酬率？什麼又是年化報酬率(Annualized Return)？
→以中國信託電話行銷為例
→內部收益率(Internal Rate of Return, IRR)


常聽到電話行銷或業務專員跟你說：「繳滿幾年期後，就可以領回140%的金額。」
如果以存入一筆金額後，以簡單的複利來計算，價值會是多少？
又以複雜的每年要投進去一筆錢的情況來計算，會是怎樣？

以銀行定存的複利計算為例

現在(2013/11/21)，國泰世華銀行的一年期定存利率是1.38%。

定存的概念就是，如果現在定存$10,000進去

滿一年未解除定存，即可領到$10,000*(1+1.38%)=$10,138
而1.38%通常也稱為一年期的固定利率

以財金Finance的概念來表示，也就是：PV(Present Value,現在價值)，以利率r，定存滿n年後，會有多少FV(Future Value,未來價值)呢？

FV=PV*(1+r)^n

上面的例子，$10,000以利率1.38%定存20年後的價值，就是

$10,000*(1+1.38%)^20=$13153.6(換言之就是20年後領131.536%)

這就是最簡單的複利計算，而年化報酬率(Annualized Return)其實只是倒過來的概念

年化報酬率(Annualized Return)

當我告訴你：「你存一筆錢，20年後我給你131%」
那麼，這個數字的年化報酬率(Annualized Return)即是1.38%了。

練習一下，如果今天存一筆款項，對方允諾10年後要給付140%，那利率怎麼算呢？

其實用我們最初的公式帶進來，你就知道了：

FV=PV*(1+r)^n  →  r=(FV/PV)^(1/n)-1  (只是移項，應該大家都很厲害)

而你也可以很簡單地將這個公式key入excel中，我們就會得到：

這個0.03422的意思很簡單，就是你的利率是每年3.422%

如果是和銀行的1.38%定存利率相比，要高很多吧！這時就知何者投資報酬率較好了。

如果是儲蓄型商品或保單...

儲蓄型商品就稍微複雜一點點了，因為儲蓄型商品的概念不是一次存一整筆錢，大多是每年存一筆錢x進去，存n年後，會給你固定的報酬率。(如果是所謂的儲蓄型保單，前幾年都會扣所謂的保險費用，所以解約金會少很多是正常的，所以是年期長的儲蓄型商品在規劃時，請一定要想清楚！)

實際舉一個例子好了，如果每年固定存$10,000進去，滿六年後會給你$72,000(六期總投入金額$60,000的120%)，這樣每年的固定利率如何算呢？

我們先用簡單的代數觀察一下：假設每年投入的金額是x，每年都以r的利率將利息滾入本金，這樣持續了n年，會得到y。不知道怎麼算的，就慢慢從第一年開始看起，很快就會發現到底y怎麼得到了。

第一年(初期)：x
第二年(滿一年未滿期)：xr+x = x(r+1)

第一年剛投入的x，以利率r放了一年，所以我們會得到xr，同時也在存入一筆x，所以總共會有xr+x，簡化後將x提出，就得到x(r+1)了，後面也是一樣的概念在處裡代數式子。

第三年(滿兩年未滿期)：x(r+1)r+x = x[(r+1)r+1] = x(r^2+r+1)

好像慢慢有點複雜(?)，我相信大家頭腦都很好，其實都是前一年的總金額乘上利率r後，再投入x，就是當年度的總本利和，運算式看似變長變複雜，其實再做一年就會發現之後的式子怎麼跑了(會觀察就好了，不需要會證明這種東西)

第四年(滿三年未滿期)：x(r^2+r+1)r+x = x[(r^2+r+1)r+1] = x(r^3+r^2+r+1)

看出來了嗎？第幾年度的總價值，不過就是x乘上r少一年度次方的降冪加總而已，而且1不過就是r^0，那寫成代數滿n年又是怎麼回事呢？

第n年(滿n-1年未滿期)：可以直接寫成=x(r^n-1+r^n-2+...+r+1)
第n+1年(滿n年已滿期)：xr(r^n-1+r^n-2+...+r+1)

我們到第n-1年未滿期的時候，會再投入一次金額x，之後再放一年就滿期了，也就是最後一年只拿到利息的部份，到期後不會再投入金額，所以直接把滿n-1年未滿期的價值乘上r就是最後滿n年已滿期的價值了！

有了上面基本的概念後，我們就可以很簡單用excel實作出來。另外有一點要注意，就是外面保險公司或銀行賣所謂的六年期，其實是存滿六年，也就是第七年時可以拿回多少，這個也要注意喔。

excel處裡的步驟

這個例子，我們就設定每年存$10,000，以銀行定存利率1.0138來看，滿六年會有多少價值呢？

一、將每期投入的金額x和利率r放好，並將年期橫放(是為了處裡r的n-1次方倍)

 

我們可以看到1.0000該欄的輸入算是為$D$1(利率r)^(C3(滿幾年)-1)，這邊是滿第一年，也就是r^0=1的部分。算好之後拉左下黑點往旁邊複製公式，就可以算出剩下的了。不過要注意要固定欄位r不要變，所以在點D1的時候，要記得按F4固定，或是直接點公式的D1按F4鍵，不然就是手動輸入了。

二、加總r從n-1次方的降冪總和

在r降冪總和下面這欄，直接去點“Σ自動加總”，就會自動將前面的數字加總了，按enter後，會直接得到6.2108這個倍數，也就是第六年(滿五年未滿期)後，會得到x呈上這個總倍數的價值。

三、將每期投入的x乘上利率r，再乘上r的n-1降冪總和，即得到滿n年期的價值

如果我們還想知道更多，像是：

1. 滿年期後的價值，是原投資價值的幾%(上面其實已經跑出來了)
2. 每年期真要算每一期的當期價值，要怎麼做？(可以用來比較其他儲蓄商品或保險)

那我們要怎麼做？

附一、滿年期後的價值，是原投資價值的幾%

%數的欄位，也就是表示滿期價值是原投資總價值的幾%。式子很簡單，就是把最後總價值/(每年存x * 存了幾年)，只是這邊如果你想要跑出來跟我一樣的形式104.94%(百分比形式)，那就右鍵→儲存格格式→百分比→小數兩位

附二、每年期真要算每一期的當期價值，要怎麼做？

也就是將前一期的價值乘上利率r，再加上每年存的x，如果用這個方法，就不需要得到r的降冪總合，只是要注意是拉到n-1年，再將n-1年的當期價值乘上利率r就可以了。